Integración por partes con funciones polinómicas y logarítmicas

Introducción

La integración por partes es una técnica fundamental del cálculo integral basada en la fórmula:

$$\int u \cdot dv = u \cdot v - \int v \cdot du$$

Cuando nos enfrentamos a integrales que combinan funciones polinómicas con funciones logarítmicas, debemos aplicar una regla especial que invierte el procedimiento habitual. Esta lección explica por qué y cómo hacerlo correctamente.

La regla fundamental: el logaritmo siempre es U

En la mayoría de casos de integración por partes, cuando aparece un polinomio, este se asigna como la función U porque al derivarlo repetidamente, el grado disminuye hasta llegar a cero. Sin embargo, cuando combinamos un polinomio con un logaritmo, esta regla se invierte.

¿Por qué el logaritmo debe ser U?

La razón es simple pero fundamental:

1. El logaritmo no tiene integral directa conocida: Si intentamos calcular ∫ln(x)dx de forma inmediata, no existe una fórmula directa. Necesitaríamos usar integración por partes u otro método.

2. El logaritmo sí tiene derivada conocida: La derivada de ln(x) es 1/x, una expresión simple y manejable.

Por tanto, cuando tenemos una integral de la forma:

$$\int P(x) \cdot \ln(f(x)) , dx$$

Donde P(x) es un polinomio, siempre asignamos:

• U = ln(f(x)) → se deriva
• dV = P(x)dx → se integra

Ejemplo 1: Integral básica ∫x²·ln(x)dx

Comencemos con un caso sencillo para ilustrar el método.

Paso 1: Asignar las funciones

• U = ln(x)
• dV = x² dx

Paso 2: Calcular dU y V

• dU = (1/x) dx
• V = x³/3

Paso 3: Aplicar la fórmula

$$\int x^2 \cdot \ln(x) , dx = \frac{x^3}{3} \cdot \ln(x) - \int \frac{x^3}{3} \cdot \frac{1}{x} , dx$$

Paso 4: Simplificar y resolver

Observa que x³/x = x², por lo que: $$= \frac{x^3}{3} \cdot \ln(x) - \frac{1}{3} \int x^2 , dx$$

$$= \frac{x^3}{3} \cdot \ln(x) - \frac{1}{3} \cdot \frac{x^3}{3} + C$$

Resultado final

$$\boxed{\frac{x^3}{3} \ln(x) - \frac{x^3}{9} + C}$$

Este ejemplo muestra el caso ideal donde las simplificaciones hacen que la integral resultante sea inmediata.

Ejemplo 2: Cuando se requiere división de polinomios

Consideremos ∫x³·ln(x-2)dx, un caso más complejo.

Paso 1: Asignar las funciones

• U = ln(x-2)
• dV = x³ dx

Paso 2: Calcular dU y V

• dU = 1/(x-2) dx (aplicando la regla de la cadena)
• V = x⁴/4

Paso 3: Aplicar la fórmula

$$\int x^3 \cdot \ln(x-2) , dx = \frac{x^4}{4} \cdot \ln(x-2) - \int \frac{x^4}{4} \cdot \frac{1}{x-2} , dx$$

$$= \frac{x^4}{4} \cdot \ln(x-2) - \frac{1}{4} \int \frac{x^4}{x-2} , dx$$

Paso 4: División de polinomios

Aquí encontramos el problema: ∫x⁴/(x-2)dx no es inmediata porque el grado del numerador (4) es mayor que el del denominador (1).

Debemos dividir x⁴ entre (x-2) usando Ruffini:

Con coeficientes [1, 0, 0, 0, 0] y divisor 2:

• Cociente: x³ + 2x² + 4x + 8
• Resto: 16

Por tanto: $$\frac{x^4}{x-2} = x^3 + 2x^2 + 4x + 8 + \frac{16}{x-2}$$

Paso 5: Integrar cada parte

$$\int \left( x^3 + 2x^2 + 4x + 8 + \frac{16}{x-2} \right) dx$$

$$= \frac{x^4}{4} + \frac{2x^3}{3} + 2x^2 + 8x + 16\ln(x-2) + C$$

Resultado final

$$\boxed{\frac{x^4}{4}\ln(x-2) - \frac{x^4}{16} - \frac{x^3}{6} - \frac{x^2}{2} - 2x - 4\ln(x-2) + C}$$

Ejemplo 3: Logaritmo en base 10

El caso más complejo involucra logaritmos en bases distintas del natural.

Calculemos ∫x·log₁₀(4x-1)dx

Derivada del logaritmo en base 10

Recuerda que: $$\frac{d}{dx}[\log_{10}(f(x))] = \frac{f'(x)}{f(x) \cdot \ln(10)}$$

Para log₁₀(4x-1): $$dU = \frac{4}{(4x-1) \cdot \ln(10)} dx$$

Aplicación del método

• U = log₁₀(4x-1)
• dV = x dx → V = x²/2

$$\int x \cdot \log_{10}(4x-1) , dx = \frac{x^2}{2} \cdot \log_{10}(4x-1) - \frac{2}{\ln(10)} \int \frac{x^2}{4x-1} , dx$$

División de polinomios

Dividimos x² entre (4x-1):

• Cociente: x/4 + 1/16
• Resto: 1/16

Resultado final

El resultado incluye múltiples términos con el factor 1/ln(10), mostrando cómo los logaritmos en base 10 añaden complejidad significativa a los cálculos.

Resumen del método

Reglas clave

1. Polinomio × Logaritmo: El logaritmo siempre es U
2. Derivada del logaritmo natural: d[ln(x)]/dx = 1/x
3. Derivada del logaritmo en base a: d[logₐ(x)]/dx = 1/(x·ln(a))
4. Después de partes: Si queda un cociente de polinomios donde el numerador tiene grado ≥ denominador, hay que dividir

Cuándo usar división de polinomios

Después de aplicar integración por partes, si te queda: $$\int \frac{P(x)}{Q(x)} dx \quad \text{con grado}(P) \geq \text{grado}(Q)$$

Debes expresar el cociente como: $$\frac{P(x)}{Q(x)} = \text{Cociente} + \frac{\text{Resto}}{Q(x)}$$

Y luego integrar cada parte por separado.

Errores comunes a evitar

1. Asignar el polinomio como U: Esto deja ∫ln(x)dx sin resolver
2. Olvidar la derivada interna: ln(x-2) se deriva como 1/(x-2), no 1/x
3. Ignorar el factor ln(10): En logaritmos decimales, este factor aparece en todas las derivadas
4. No dividir cuando es necesario: Si el numerador tiene grado ≥ denominador, la división es obligatoria

Conclusión

La integración por partes de funciones polinómicas con logarítmicas requiere invertir la asignación habitual: el logaritmo siempre debe ser U porque no tiene integral directa. Dependiendo de la complejidad del polinomio y el argumento del logaritmo, puede ser necesario aplicar división de polinomios para completar el proceso. Los logaritmos en bases distintas del natural añaden el factor ln(base) que debe considerarse cuidadosamente en todos los cálculos.