Derivada por definición: cálculo paso a paso con ejemplos resueltos

Introducción

La derivada por definición es el método fundamental para calcular la derivada de una función, utilizando el concepto de límite del cociente incremental. Este enfoque, desarrollado en el siglo XVII por Isaac Newton y Gottfried Leibniz de forma independiente, constituye la base teórica de todo el cálculo diferencial.

Dominar la derivada por definición no solo es requisito habitual en exámenes de PCE y selectividad, sino que permite comprender profundamente qué significa realmente la derivada: la pendiente de la recta tangente a una curva en cada punto.

La fórmula de la derivada por definición

La derivada de una función f(x) se define como:

$$f'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{f(x+h) - f(x)}{h}$$

Esta expresión representa el límite de la pendiente de la recta secante cuando los dos puntos se acercan infinitamente. El cociente $\frac{f(x+h) - f(x)}{h}$ mide la variación media de la función en un intervalo de longitud h, y al hacer h tender a cero, obtenemos la variación instantánea.

Interpretación gráfica de la derivada

Antes de calcular derivadas, es fundamental entender qué información nos proporciona la función derivada:

• Derivada positiva: La función original es creciente en ese intervalo
• Derivada negativa: La función original es decreciente
• Derivada igual a cero: La recta tangente es horizontal, indicando un posible máximo o mínimo

Observando el gráfico de cualquier función, podemos deducir el signo de su derivada. Por ejemplo, si una función crece hasta un punto y luego decrece, sabemos que su derivada es positiva antes de ese punto, cero exactamente en él, y negativa después.

Ejemplo 1: Derivada de f(x) = x³

Calculemos la derivada de la función cúbica usando la definición.

Paso 1: Planteamos el límite

$$f'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{(x+h)^3 - x^3}{h}$$

Paso 2: Desarrollamos el cubo

Usando el binomio de Newton: $$(x+h)^3 = x^3 + 3x^2h + 3xh^2 + h^3$$

Paso 3: Sustituimos y simplificamos

$$f'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{x^3 + 3x^2h + 3xh^2 + h^3 - x^3}{h}$$

Los términos $x^3$ se cancelan: $$f'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{3x^2h + 3xh^2 + h^3}{h}$$

Paso 4: Factorizamos h

$$f'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{h(3x^2 + 3xh + h^2)}{h} = \lim_{h \to 0} (3x^2 + 3xh + h^2)$$

Paso 5: Evaluamos el límite

$$f'(x) = 3x^2 + 0 + 0 = 3x^2$$

Interpretación

La derivada $f'(x) = 3x^2$ es siempre mayor o igual a cero (es cero solo en x = 0). Esto confirma que la función $x^3$ es siempre creciente, algo que podemos verificar gráficamente.

Ejemplo 2: Derivada de f(x) = ln(x)

La derivada del logaritmo neperiano es más compleja y requiere usar propiedades de logaritmos y reconocer la definición del número e.

Paso 1: Planteamos el límite

$$f'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{\ln(x+h) - \ln(x)}{h}$$

Paso 2: Aplicamos propiedades de logaritmos

Usando que la resta de logaritmos es el logaritmo del cociente: $$f'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{1}{h} \cdot \ln\left(\frac{x+h}{x}\right) = \lim_{h \to 0} \frac{1}{h} \cdot \ln\left(1 + \frac{h}{x}\right)$$

Paso 3: Pasamos el exponente

$$f'(x) = \lim_{h \to 0} \ln\left(1 + \frac{h}{x}\right)^{1/h}$$

Paso 4: Manipulamos para obtener la forma del número e

Si hacemos el cambio $n = x/h$, cuando $h \to 0$, tenemos $n \to \infty$:

$$f'(x) = \ln\left[\lim_{h \to 0} \left(1 + \frac{1}{x/h}\right)^{(x/h) \cdot (1/x)}\right]$$

Paso 5: Reconocemos el número e

Como $\lim_{n \to \infty} (1 + 1/n)^n = e$:

$$f'(x) = \ln(e^{1/x}) = \frac{1}{x}$$

Interpretación

La derivada $f'(x) = 1/x$ es positiva para todo $x > 0$ (el dominio del logaritmo), lo que confirma que $\ln(x)$ siempre crece. Sin embargo, como $1/x$ es decreciente, el logaritmo crece cada vez más lentamente conforme x aumenta.

Ejemplo 3: Derivada de f(x) = sen(x)

Para derivar la función seno necesitamos usar fórmulas trigonométricas y límites notables.

Paso 1: Planteamos el límite

$$f'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{\sin(x+h) - \sin(x)}{h}$$

Paso 2: Aplicamos la fórmula del seno de la suma

$$\sin(x+h) = \sin(x)\cos(h) + \cos(x)\sin(h)$$

Sustituyendo: $$f'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{\sin(x)\cos(h) + \cos(x)\sin(h) - \sin(x)}{h}$$

Paso 3: Agrupamos términos

$$f'(x) = \lim_{h \to 0} \left[\sin(x) \cdot \frac{\cos(h) - 1}{h} + \cos(x) \cdot \frac{\sin(h)}{h}\right]$$

Paso 4: Aplicamos los límites notables

Los límites notables (infinitesimales equivalentes) establecen:

• $\lim_{h \to 0} \frac{\sin(h)}{h} = 1$
• $\lim_{h \to 0} \frac{\cos(h) - 1}{h} = 0$

Paso 5: Evaluamos

$$f'(x) = \sin(x) \cdot 0 + \cos(x) \cdot 1 = \cos(x)$$

Interpretación

La derivada del seno es el coseno. Esto tiene perfecto sentido gráfico: cuando $\sin(x)$ alcanza un máximo (en $x = \pi/2$), su derivada $\cos(\pi/2) = 0$, indicando tangente horizontal. Cuando $\sin(x)$ pasa por cero con pendiente máxima (en $x = 0$), $\cos(0) = 1$, el valor máximo de la pendiente.

Resumen de resultados

Conclusiones

La derivada por definición, aunque laboriosa, es el fundamento de todas las reglas de derivación que se estudiarán posteriormente. Comprender este proceso permite:

1. Entender qué significa realmente la derivada como pendiente instantánea
2. Demostrar las reglas de derivación que usamos de forma práctica
3. Interpretar gráficamente el comportamiento de funciones
4. Resolver problemas donde se pide explícitamente usar la definición

En el análisis de funciones, la derivada es la herramienta fundamental para determinar intervalos de crecimiento y decrecimiento, localizar máximos y mínimos, y comprender el comportamiento global de cualquier función diferenciable.