Reglas de derivación: producto y cociente de funciones

Las reglas de derivación del producto y del cociente son herramientas fundamentales en cálculo diferencial. Cuando nos enfrentamos a funciones que son el resultado de multiplicar o dividir dos funciones más simples, necesitamos aplicar estas reglas específicas para obtener la derivada correctamente.

La regla del producto

Fórmula y significado

Cuando tenemos dos funciones f(x) y g(x) multiplicándose, la derivada de su producto no es simplemente el producto de las derivadas. La fórmula correcta es:

$$(f \cdot g)' = f' \cdot g + f \cdot g'$$

En palabras: la derivada de un producto es igual a la derivada de la primera función multiplicada por la segunda sin derivar, más la primera función sin derivar multiplicada por la derivada de la segunda.

Demostración por definición

Partimos de la definición de derivada por límites:

$$\lim_{h \to 0} \frac{f(x+h) \cdot g(x+h) - f(x) \cdot g(x)}{h}$$

El truco clave es sumar y restar el término f(x)·g(x+h) dentro del numerador. Esto no altera el resultado pero nos permite reorganizar la expresión:

$$\lim_{h \to 0} \frac{f(x+h) \cdot g(x+h) - f(x) \cdot g(x+h) + f(x) \cdot g(x+h) - f(x) \cdot g(x)}{h}$$

Ahora podemos sacar factores comunes:

• En los dos primeros términos, g(x+h) es factor común
• En los dos últimos términos, f(x) es factor común

Esto nos permite separar el límite en dos partes que reconocemos como las derivadas de f y g respectivamente, llegando a la fórmula del producto.

Ejemplo resuelto 1: Derivar 2x³·cos(x)

Identificamos los elementos:

• Constante: 2 (no se deriva, se deja fuera)
• Primera función: x³
• Segunda función: cos(x)

Aplicamos la regla:

$$f'(x) = 2 \cdot [(x^3)' \cdot \cos(x) + x^3 \cdot (\cos(x))']$$

Calculamos las derivadas individuales:

• $(x^3)' = 3x^2$
• $(\cos(x))' = -\sin(x)$

Sustituimos:

$$f'(x) = 2 \cdot [3x^2 \cdot \cos(x) + x^3 \cdot (-\sin(x))]$$

$$f'(x) = 6x^2 \cos(x) - 2x^3 \sin(x)$$

Ejemplo resuelto 2: Derivar (1/5)·∛x·arctan(x)

Primero, convertimos la raíz cúbica a notación exponencial: $\sqrt[3]{x} = x^{1/3}$

Identificamos:

• Constante: 1/5
• Primera función: $x^{1/3}$
• Segunda función: arctan(x)

Aplicamos la regla:

$$f'(x) = \frac{1}{5} \cdot [(x^{1/3})' \cdot \arctan(x) + x^{1/3} \cdot (\arctan(x))']$$

Calculamos las derivadas:

• $(x^{1/3})' = \frac{1}{3}x^{-2/3}$
• $(\arctan(x))' = \frac{1}{1+x^2}$

Sustituimos y simplificamos:

$$f'(x) = \frac{1}{15}x^{-2/3} \cdot \arctan(x) + \frac{1}{5} \cdot \frac{\sqrt[3]{x}}{1+x^2}$$

La regla del cociente

Fórmula y significado

Cuando tenemos una función dividiendo a otra, la derivada se calcula con:

$$\left(\frac{f}{g}\right)' = \frac{f' \cdot g - f \cdot g'}{g^2}$$

En palabras: la derivada de un cociente es la derivada del numerador por el denominador sin derivar, menos el numerador sin derivar por la derivada del denominador, todo dividido entre el denominador elevado al cuadrado.

Puntos críticos a recordar

1. El orden de la resta importa: siempre es f'·g - f·g', no al revés
2. El denominador va al cuadrado: nunca olvides elevar g al cuadrado
3. Simplifica siempre: busca factores comunes para reducir la expresión

Demostración por definición

Partimos de la definición de derivada:

$$\lim_{h \to 0} \frac{\frac{f(x+h)}{g(x+h)} - \frac{f(x)}{g(x)}}{h}$$

Al hacer denominador común y aplicar técnicas similares a las del producto (sumar y restar términos auxiliares), llegamos a la fórmula del cociente. El denominador resulta ser g² porque al multiplicar g(x+h)·g(x) y hacer que h tienda a cero, obtenemos g(x)·g(x) = [g(x)]².

Ejemplo resuelto 3: Derivar (3x² - 5x + 1)/(x + 4)

Identificamos:

• Numerador f(x) = 3x² - 5x + 1
• Denominador g(x) = x + 4

Calculamos las derivadas:

• f'(x) = 6x - 5
• g'(x) = 1

Aplicamos la regla:

$$f'(x) = \frac{(6x - 5)(x + 4) - (3x^2 - 5x + 1)(1)}{(x + 4)^2}$$

Expandimos el numerador: $$= \frac{6x^2 + 24x - 5x - 20 - 3x^2 + 5x - 1}{(x + 4)^2}$$

Combinamos términos semejantes: $$= \frac{3x^2 + 24x - 21}{(x + 4)^2}$$

Ejemplo resuelto 4: Derivar ln(x)/3^x

Identificamos:

• Numerador f(x) = ln(x)
• Denominador g(x) = 3^x

Calculamos las derivadas:

• $(\ln(x))' = \frac{1}{x}$
• $(3^x)' = 3^x \cdot \ln(3)$

Aplicamos la regla:

$$f'(x) = \frac{\frac{1}{x} \cdot 3^x - \ln(x) \cdot 3^x \cdot \ln(3)}{(3^x)^2}$$

Sacamos factor común 3^x en el numerador:

$$f'(x) = \frac{3^x \cdot \left[\frac{1}{x} - \ln(x) \cdot \ln(3)\right]}{3^{2x}}$$

Simplificamos (3^x entre 3^(2x) = 1/3^x):

$$f'(x) = \frac{\frac{1}{x} - \ln(x) \cdot \ln(3)}{3^x}$$

Consejos prácticos para derivar productos y cocientes

Para el producto:

1. Identifica claramente cuáles son las dos funciones que se multiplican
2. Si hay una constante multiplicando, déjala fuera
3. Aplica la regla: derivada de la primera por la segunda + primera por derivada de la segunda
4. Simplifica el resultado si es posible

Para el cociente:

1. Identifica numerador y denominador
2. Recuerda: derivada del numerador va primero en la resta
3. No olvides elevar el denominador al cuadrado
4. Expande el numerador y combina términos semejantes
5. Busca factores comunes para simplificar

Errores frecuentes y cómo evitarlos

Error 1: Derivar un producto como producto de derivadas

Incorrecto: $(f \cdot g)' = f' \cdot g'$

Correcto: $(f \cdot g)' = f' \cdot g + f \cdot g'$

Error 2: Invertir el orden en la regla del cociente

Incorrecto: $\frac{f \cdot g' - f' \cdot g}{g^2}$

Correcto: $\frac{f' \cdot g - f \cdot g'}{g^2}$

Error 3: Olvidar el cuadrado en el denominador

Incorrecto: $\frac{f' \cdot g - f \cdot g'}{g}$

Correcto: $\frac{f' \cdot g - f \cdot g'}{g^2}$

Resumen de fórmulas

Estas dos reglas, junto con las derivadas de funciones elementales y la regla de la cadena, te permitirán derivar prácticamente cualquier función que encuentres en tus estudios de cálculo.