Cómo resolver la indeterminación 1 elevado a infinito en límites
Respuesta rápida
Para resolver la indeterminación 1^∞, transforma la expresión a la forma (1 + 1/f(x))^f(x), donde f(x) tiende a infinito. Esta expresión tiende al número e, permitiendo calcular el límite como e elevado al exponente resultante tras simplificar.
Puntos clave
Verificar siempre la indeterminación
Sustituir el valor para confirmar que la base tiende a 1 y el exponente a infinito
Usar la propiedad del número e
(1 + 1/f(x))^f(x) tiende a e cuando f(x) tiende a infinito
Sumar y restar 1
Técnica clave para obtener la forma 1 + algo en la base
Compensar en el exponente
Al poner f(x) en el exponente, multiplicar por 1/f(x) para mantener equivalencia
Mismo proceso que x→∞
El método es idéntico independientemente de si x tiende a infinito o a un valor finito
Paso a paso
Sustituir el valor al que tiende x para verificar que existe la indeterminación 1^∞
Sumar y restar 1 en la base para obtener la forma 1 + (expresión)
Transformar la expresión a la forma 1 + 1/f(x) invirtiendo el término añadido
Repetir f(x) en el exponente y compensar multiplicando por su inverso
Identificar que la base tiende a e y calcular el límite del exponente restante
Expresar el resultado final como e elevado al valor del exponente calculado
Ejemplos resueltos
Problema 1Calcular el límite cuando x tiende a 2 por la derecha de [(2x-3)/(x-2)]^(1/(x-2))
Calcular el límite cuando x tiende a 2 por la derecha de [(2x-3)/(x-2)]^(1/(x-2))
Solución:
- 1Verificar la indeterminación: sustituimos x=2, obtenemos (4-3)/(2-2) = 1/0, base = 1, exponente = 1/0 = ∞. Es 1^∞
- 2Sumar y restar 1: (2x-3)/(x-2) = 1 + (2x-3)/(x-2) - 1 = 1 + (2x-4)/(x-2)
- 3Transformar a 1 + 1/f(x): 1 + 1/[1/(2x-4)] = 1 + 1/[(x-2)/(2x-4)] invirtiendo, obtenemos 1 + 1/[1/(2x-4)]
- 4Repetir y compensar: (1 + 1/[1/(2x-4)])^[1/(2x-4)] elevado a [(2x-4)·1/(x-2)]
- 5La parte (1 + 1/f(x))^f(x) tiende a e
- 6Calcular exponente: lím(x→2) (2x-4)/(x-2) = lím 2(x-2)/(x-2) = 2
e²
Verificación: Verificar que al factorizar (2x-4) = 2(x-2), la simplificación con (x-2) del denominador es correcta
Problema 2Calcular el límite cuando x tiende a 5 de [(x-4)/(x-5)]^(x/(x-5))
Calcular el límite cuando x tiende a 5 de [(x-4)/(x-5)]^(x/(x-5))
Solución:
- 1Verificar la indeterminación: x=5 da (5-4)/(5-5) = 1/0, base = 1, exponente = 5/0 = ∞. Es 1^∞
- 2Sumar y restar 1: (x-4)/(x-5) = 1 + (x-4)/(x-5) - 1 = 1 + (x-5+1-x+4)/(x-5) = 1 + (x-5)/(x-5) = 1 + 1... Realmente: (x-4)/(x-5) - 1 = (x-4-(x-5))/(x-5) = 1/(x-5)
- 3Forma obtenida: 1 + 1/(x-5)
- 4Transformar: (1 + 1/(x-5))^(x-5) multiplicado por (x-5)·x/(x-5) en el exponente para compensar
- 5La parte (1 + 1/(x-5))^(x-5) tiende a e
- 6Calcular exponente: lím(x→5) x(x-5)/(x-5) = lím x = 5
e⁵
Verificación: Comprobar que x-5 se simplifica en el exponente y solo queda x, que evaluado en 5 da 5
Cómo resolver la indeterminación 1 elevado a infinito en límites
Introducción
La indeterminación 1^∞ (uno elevado a infinito) es una de las formas indeterminadas más importantes en el cálculo de límites. Aunque pueda parecer que 1 elevado a cualquier potencia debería dar 1, cuando trabajamos con límites donde la base tiende a 1 (sin ser exactamente 1) y el exponente tiende a infinito, el resultado puede ser cualquier número positivo.
En este artículo aprenderás a resolver esta indeterminación cuando x tiende a un valor finito, utilizando el método de transformación basado en el número e.
¿Por qué 1^∞ es una indeterminación?
Cuando la base es exactamente 1, entonces 1^n = 1 para cualquier n. Sin embargo, en límites, la base se aproxima a 1 sin ser 1. Por ejemplo, (1 + 0.001)^1000 ≈ 2.717, que está muy cerca del número e.
Existe una competencia entre:
- La base cercana a 1, que empuja el resultado hacia 1
- El exponente infinito, que amplifica cualquier desviación de 1
El resultado final depende de la velocidad relativa con que cada parte alcanza su límite.
El método de resolución: la propiedad del número e
La clave para resolver la indeterminación 1^∞ es la siguiente propiedad fundamental:
$$\lim_{f(x)\to\infty} \left(1 + \frac{1}{f(x)}\right)^{f(x)} = e$$
Donde e ≈ 2.71828 es la base de los logaritmos neperianos.
Nuestro objetivo es transformar cualquier expresión con indeterminación 1^∞ a esta forma canónica. Una vez identificada, sabremos que esa parte tiende a e, y solo quedará calcular el exponente restante.
Pasos para resolver la indeterminación 1^∞
Paso 1: Verificar la indeterminación
Sustituye el valor al que tiende x en la expresión. Debes confirmar que:
- La base tiende a 1
- El exponente tiende a infinito (por división entre 0 o similar)
Paso 2: Sumar y restar 1
Transforma la base para que tenga la forma 1 + algo:
$$\frac{f(x)}{g(x)} = 1 + \frac{f(x) - g(x)}{g(x)}$$
Esto se logra sumando y restando 1, lo que no altera el valor.
Paso 3: Obtener la forma 1 + 1/h(x)
Manipula algebraicamente para que el "algo" tenga la forma 1/h(x), donde h(x) tiende a infinito.
Paso 4: Repetir y compensar en el exponente
Para que la base tenga la estructura (1 + 1/h(x))^h(x), necesitas:
- Poner h(x) como exponente de la base
- Compensar multiplicando el exponente original por 1/h(x)
Paso 5: Identificar e y calcular
Ahora tienes: $$\left[\left(1 + \frac{1}{h(x)}\right)^{h(x)}\right]^{\text{exponente}}$$
La parte entre corchetes tiende a e. Solo calcula el límite del exponente restante.
Paso 6: Expresar el resultado
El resultado final es e^L, donde L es el límite del exponente calculado.
Ejemplo 1: Límite cuando x tiende a 2
Problema: $$\lim_{x\to 2^+} \left(\frac{2x-3}{x-2}\right)^{\frac{1}{x-2}}$$
Verificación
Sustituimos x = 2:
- Base: (2·2 - 3)/(2 - 2) = 1/0 → La parte entera es 1
- Exponente: 1/(2 - 2) = 1/0 → ∞
Conclusión: Tenemos la indeterminación 1^∞.
Resolución
Paso 1: Sumar y restar 1 en la base: $$\frac{2x-3}{x-2} = 1 + \frac{2x-3 - (x-2)}{x-2} = 1 + \frac{2x-4}{x-2}$$
Paso 2: Transformar a la forma 1 + 1/f(x): $$1 + \frac{2x-4}{x-2} = 1 + \frac{1}{\frac{x-2}{2x-4}}$$
Cuando x → 2, el denominador (x-2)/(2x-4) → 0, así que 1/esto → ∞. ✓
Paso 3: Reescribir con h(x) = 1/(2x-4): $$\left(1 + \frac{1}{\frac{1}{2x-4}}\right)^{\frac{1}{2x-4} \cdot (2x-4) \cdot \frac{1}{x-2}}$$
Paso 4: La parte $\left(1 + \frac{1}{h(x)}\right)^{h(x)}$ tiende a e.
Paso 5: Calcular el exponente restante: $$\lim_{x\to 2} \frac{2x-4}{x-2} = \lim_{x\to 2} \frac{2(x-2)}{x-2} = 2$$
Resultado: $e^2$
Ejemplo 2: Límite cuando x tiende a 5
Problema: $$\lim_{x\to 5} \left(\frac{x-4}{x-5}\right)^{\frac{x}{x-5}}$$
Verificación
Sustituimos x = 5:
- Base: (5-4)/(5-5) = 1/0 → tiende a 1
- Exponente: 5/(5-5) = 5/0 → ∞
Conclusión: Es 1^∞.
Resolución
Paso 1: Transformar la base: $$\frac{x-4}{x-5} = 1 + \frac{x-4-(x-5)}{x-5} = 1 + \frac{1}{x-5}$$
Paso 2: Ya tenemos la forma 1 + 1/f(x) con f(x) = x - 5.
Paso 3: Reescribir: $$\left(1 + \frac{1}{x-5}\right)^{(x-5) \cdot \frac{x}{x-5}}$$
Paso 4: La parte $(1 + 1/(x-5))^{(x-5)}$ tiende a e.
Paso 5: Calcular el exponente restante: $$\lim_{x\to 5} \frac{x(x-5)}{x-5} = \lim_{x\to 5} x = 5$$
Resultado: $e^5$
Comparación con x tendiendo a infinito
El proceso es idéntico cuando x tiende a infinito o a un valor finito. La única diferencia está en cómo surge la indeterminación:
| x → ∞ | x → valor finito |
|---|---|
| La indeterminación surge de fracciones ∞/∞ | La indeterminación surge de divisiones 1/0 |
| f(x) → ∞ directamente | f(x) → ∞ por tener 0 en denominador |
Una vez identificada la indeterminación 1^∞, el método de transformación con el número e funciona exactamente igual.
Errores comunes a evitar
-
No verificar la indeterminación: Siempre sustituye primero para confirmar que tienes 1^∞.
-
Olvidar la compensación: Cuando pones h(x) en el exponente, debes multiplicar por 1/h(x) para mantener la equivalencia.
-
Errores de signo: Cuidado al calcular f(x) - g(x) cuando restas fracciones.
-
No simplificar el exponente final: Frecuentemente, el límite del exponente se puede simplificar factorizando.
Resumen del método
- Sustituir para verificar 1^∞
- Sumar y restar 1 en la base
- Obtener forma 1 + 1/h(x)
- Reorganizar: base^h(x) (tiende a e) con exponente compensado
- Calcular límite del exponente
- Resultado: e^(límite del exponente)
Conclusión
La indeterminación 1^∞ se resuelve siempre mediante la transformación a la forma canónica del número e. Ya sea que x tienda a infinito o a un valor finito, el proceso algebraico es el mismo: manipular la expresión para reconocer (1 + 1/f(x))^f(x) → e, y luego calcular el exponente restante.
Con práctica, este método se vuelve sistemático y permite resolver rápidamente cualquier límite con esta indeterminación.
Errores comunes
No verificar que existe la indeterminación 1^∞ antes de aplicar el método
Si al sustituir no obtienes base igual a 1 y exponente infinito, no hay indeterminación
Siempre sustituye primero el valor para confirmar que la base tiende a 1 y el exponente a infinito
Sumar 1 sin restar 1, alterando la expresión original
La expresión transformada no equivale a la original
Al sumar 1, siempre resta 1 inmediatamente después: f(x) = 1 + f(x) - 1
No compensar correctamente al poner f(x) en el exponente
El límite resultante no coincide con el original al verificar
Si pones f(x) como exponente de la base, debes multiplicar el exponente original por 1/f(x)
Confundir el proceso cuando x tiende a un valor finito vs cuando tiende a infinito
Usar técnicas de infinito cuando x tiende a un número
El proceso es idéntico, solo cambia que la indeterminación surge por división entre 0, no por infinito/infinito
Glosario
- Indeterminación 1^∞
- Forma indeterminada que surge cuando la base de una potencia tiende a 1 y el exponente tiende a infinito. Requiere técnicas especiales para su resolución.
- Número e
- Constante matemática aproximadamente igual a 2.71828, base de los logaritmos neperianos. Se define como el límite de (1 + 1/n)^n cuando n tiende a infinito.
- Límite lateral
- Límite calculado cuando la variable se aproxima al punto solo por un lado: por la derecha (x → a⁺) o por la izquierda (x → a⁻).
- Forma canónica del número e
- Expresión (1 + 1/f(x))^f(x) que tiende al número e cuando f(x) tiende a infinito. Es la clave para resolver indeterminaciones 1^∞.
- Compensación en el exponente
- Técnica que consiste en multiplicar y dividir por la misma función en el exponente para mantener la equivalencia mientras se transforma la expresión.
- Factor común
- Elemento que aparece en todos los términos de una expresión y puede extraerse para simplificar, muy útil al resolver el exponente final.
Preguntas frecuentes
¿Por qué 1^∞ es una indeterminación y no simplemente 1?
Porque cuando la base se acerca a 1 pero no es exactamente 1, y el exponente crece infinitamente, el resultado puede ser cualquier número positivo.
Si la base fuera exactamente 1, entonces 1^∞ = 1. Pero en límites, la base tiende a 1 sin ser 1, creando una competencia: la base cercana a 1 empuja hacia 1, mientras el exponente infinito amplifica cualquier desviación. El resultado depende de la velocidad relativa de cada tendencia.
¿El método es el mismo cuando x tiende a infinito que cuando tiende a un valor finito?
Sí, el proceso de transformación usando el número e es idéntico en ambos casos.
La diferencia está en cómo surge la indeterminación: cuando x tiende a infinito, suele venir de fracciones ∞/∞; cuando x tiende a un valor finito, surge de divisiones por 0. Pero una vez identificada la indeterminación 1^∞, el método de resolución es exactamente el mismo.
¿Por qué hay que sumar y restar 1?
Para obtener la forma 1 + algo, que es necesaria para aplicar la definición del número e.
El número e se define como límite de (1 + 1/n)^n. Para usar esta propiedad, necesitamos que nuestra base tenga la forma 1 + expresión. Sumar y restar 1 es una manipulación algebraica que no altera el valor pero nos permite alcanzar esa forma.
¿Qué significa 'compensar' en el exponente?
Multiplicar por una función y su inverso para mantener la equivalencia mientras reorganizamos la expresión.
Si queremos que el exponente de la base (1 + 1/f(x)) sea exactamente f(x), debemos poner f(x) ahí. Pero esto cambia la expresión, así que multiplicamos el exponente por f(x)/f(x) = 1, separando f(x) para la base y 1/f(x) para compensar con el exponente original.
¿Cómo sé si el límite da e elevado a un número positivo o negativo?
Depende del signo del límite que calculas en el exponente final tras las simplificaciones.
Una vez que la base tiende a e, el resultado es e^L donde L es el límite del exponente restante. Si L > 0, obtienes un número mayor que 1; si L < 0, obtienes un número entre 0 y 1; si L = 0, obtienes 1.
¿Qué pasa si el límite es por la derecha vs por la izquierda?
Puede afectar al signo del infinito en el exponente, lo que determina si el resultado es e^L o e^(-L).
Cuando x tiende a un valor donde hay división por cero, el límite lateral determina si obtenemos +∞ o -∞. Esto influye en el proceso y puede dar resultados diferentes por cada lado, indicando que el límite bilateral no existe.
¿Puedo usar L'Hôpital para resolver 1^∞?
No directamente, pero puedes convertirlo tomando logaritmos y luego aplicar L'Hôpital a la indeterminación resultante.
Si tomas ln del límite, obtienes exponente · ln(base), que puede dar ∞·0. Esto se convierte en 0/0 o ∞/∞ reordenando, y ahí sí aplica L'Hôpital. Luego el resultado es e elevado a lo que obtengas.
¿Por qué el ejemplo da e² y no otro número?
Porque al simplificar el exponente final, el límite de (2x-4)/(x-2) cuando x→2 es igual a 2.
En el ejemplo, (2x-4)/(x-2) = 2(x-2)/(x-2) = 2 para todo x ≠ 2. Por tanto, el límite es 2, y el resultado final es e².
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