Indeterminaciones Infinito Menos Infinito y Límites de Potencias

Introducción

Cuando calculamos límites con x tendiendo a infinito, nos encontramos frecuentemente con dos tipos de situaciones problemáticas: la indeterminación infinito menos infinito (∞-∞) y los límites de potencias donde tanto la base como el exponente dependen de x. En esta lección aprenderás las técnicas algebraicas necesarias para resolver ambos casos.

La Indeterminación Infinito Menos Infinito

¿Por qué es una indeterminación?

Cuando restamos dos expresiones que tienden a infinito, el resultado no es automáticamente cero. El valor del límite depende de cuál de las dos expresiones crece más rápidamente.

Por ejemplo:

• x² - x cuando x→∞: ambos tienden a infinito, pero x² crece mucho más rápido, así que el resultado es +∞
• (x+1) - x cuando x→∞: ambos tienden a infinito, pero crecen a la misma velocidad, el resultado es 1

Estrategia de resolución

Paso 1: Identificar los órdenes

El orden (o grado) de cada término determina su velocidad de crecimiento. Para expresiones con raíces, recuerda que:

• √(x²) tiene orden 2/2 = 1
• √(x³) tiene orden 3/2
• ∛(x⁶) tiene orden 6/3 = 2

Paso 2: Comparar órdenes

Si los órdenes son diferentes, el término de mayor orden domina y determina el signo del resultado (±∞).

Si los órdenes son iguales, necesitamos técnicas algebraicas adicionales.

Paso 3: Multiplicar por el conjugado

Cuando los órdenes son iguales y hay raíces cuadradas, multiplicamos y dividimos por el conjugado:

$$\frac{(a-b) \cdot (a+b)}{(a+b)} = \frac{a^2 - b^2}{a+b}$$

Esto aplica la igualdad notable suma por diferencia, eliminando las raíces del numerador.

Ejemplo Resuelto: Indeterminación ∞-∞

Calcular: $\lim_{x \to \infty} [(2x+1) - \sqrt{4x^2-3x+1}]$

Solución:

1. Verificamos la indeterminación: (2x+1) → ∞ y √(4x²-3x+1) → ∞. Tenemos ∞-∞.

2. Comparamos órdenes: Ambos tienen orden 1 (el primer término es lineal, y √(4x²) = 2|x| también es orden 1).

3. Multiplicamos por el conjugado:

$$\frac{[(2x+1) - \sqrt{4x^2-3x+1}] \cdot [(2x+1) + \sqrt{4x^2-3x+1}]}{(2x+1) + \sqrt{4x^2-3x+1}}$$

4. Aplicamos suma por diferencia en el numerador:

$$(2x+1)^2 - (4x^2-3x+1) = 4x^2 + 4x + 1 - 4x^2 + 3x - 1 = 7x$$

5. El límite queda:

$$\lim_{x \to \infty} \frac{7x}{(2x+1) + \sqrt{4x^2-3x+1}}$$

6. Dividimos todo por x:

$$\lim_{x \to \infty} \frac{7}{2 + \frac{1}{x} + \sqrt{4 - \frac{3}{x} + \frac{1}{x^2}}}$$

7. Evaluamos el límite:

$$\frac{7}{2 + 0 + \sqrt{4}} = \frac{7}{2 + 2} = \frac{7}{4}$$

Indeterminación ∞-∞ con Fracciones

Cuando tenemos restas de fracciones donde cada una tiende a infinito, la estrategia es diferente:

1. Hacer la resta de fracciones con denominador común
2. Simplificar el numerador resultante
3. Comparar grados del nuevo numerador y denominador

Ejemplo: $\lim_{x \to \infty} \left[\frac{x^3+1}{x^2-1} - \frac{x^3-2}{x^2+4}\right]$

Cada fracción tiene numerador de grado mayor que el denominador, así que cada una tiende a infinito. Hacemos la resta:

$$\frac{(x^3+1)(x^2+4) - (x^3-2)(x^2-1)}{(x^2-1)(x^2+4)}$$

Al desarrollar y simplificar el numerador, comparamos el grado resultante con el del denominador para determinar el límite.

Límites de Potencias

Clasificación de casos

Cuando tenemos un límite de la forma $\lim_{x \to \infty} [f(x)]^{g(x)}$, analizamos a qué tienden base y exponente:

Ejemplos de límites de potencias

Ejemplo 1: $\lim_{x \to \infty} \left(\frac{2}{5}\right)^{\frac{x}{x-1}}$

• Base: 2/5 = 0.4 (constante, menor que 1)
• Exponente: x/(x-1) → 1 cuando x→∞

Pero debemos tener cuidado: si el exponente tendiera a infinito, el resultado sería 0. Como tiende a 1, el resultado es (2/5)^1 = 2/5.

Ejemplo 2: $\lim_{x \to \infty} \left(\frac{4}{3}\right)^{-x}$

• Reescribimos: (4/3)^(-x) = (3/4)^x
• Base: 3/4 = 0.75 (menor que 1)
• Exponente: x → +∞

Un número menor que 1 elevado a potencias crecientes tiende a 0.

Resultado: 0

Ejemplo 3: $\lim_{x \to \infty} 2^{\frac{1}{x}}$

• Base: 2 (constante)
• Exponente: 1/x → 0 cuando x→∞

Resultado: 2^0 = 1

Resumen de Estrategias

Para ∞-∞:

1. Compara órdenes de los términos
2. Si son iguales y hay raíces, multiplica por el conjugado
3. Aplica suma por diferencia
4. Si queda ∞/∞, divide por la mayor potencia de x

Para potencias:

1. Determina a qué tiende la base
2. Determina a qué tiende el exponente
3. Consulta la tabla de casos
4. Si es indeterminación (0^0, 1^∞, ∞^0), usa técnicas avanzadas

Errores Comunes a Evitar

1. No asumas que ∞-∞ = 0. Es una indeterminación que puede dar cualquier valor.

2. Recuerda que √(x²) tiene orden 1, no 2. La raíz reduce el orden a la mitad.

3. Al multiplicar por el conjugado, divide también. Si solo multiplicas, cambias el valor del límite.

4. No confundas 1^∞ con 1. Es una indeterminación que requiere técnicas especiales.

5. Después del conjugado, verifica si queda otra indeterminación. Es común que quede ∞/∞.

Conclusión

Las indeterminaciones ∞-∞ y los límites de potencias son casos fundamentales en el cálculo de límites. La clave está en:

• Para ∞-∞: Comparar velocidades de crecimiento y usar la técnica del conjugado con suma por diferencia
• Para potencias: Analizar base y exponente por separado e identificar si hay indeterminación

Dominar estas técnicas es esencial para el estudio del cálculo diferencial y las pruebas de acceso a la universidad.