Integración por partes: métodos alternativos y ejemplos resueltos
Respuesta rápida
La integración por partes no siempre es obligatoria: integrales como el coseno al cuadrado pueden resolverse usando la identidad cos²(x) = (1 + cos(2x))/2, y las integrales con raíces como √(1-x²) requieren cambio de variable x = sen(t) para simplificarse a integrales trigonométricas.
Puntos clave
Métodos alternativos
La integración por partes no siempre es obligatoria; las identidades trigonométricas pueden ser más eficientes
Fórmula del ángulo doble
cos²(x) = (1 + cos(2x))/2 permite integrar sin usar partes
Cambios trigonométricos
Para √(1-x²), el cambio x = sen(t) elimina la raíz transformándola en cos(t)
Evitar ciclos
Al integrar cos²(x) por partes, usar sen²(x) = 1 - cos²(x) para romper el ciclo
Deshacer cambios
Siempre expresar el resultado final en la variable original usando las relaciones inversas
Paso a paso
Identificar si la integral requiere obligatoriamente integración por partes o admite métodos alternativos
Para integrales con logaritmos de base distinta de e, asignar u = log(f(x)) y dv = dx
Para cos²(x), usar la identidad cos²(x) = (1 + cos(2x))/2 en lugar de partes
Para √(1-x²), hacer el cambio x = sen(t), entonces dx = cos(t)dt
Al deshacer el cambio de variable, expresar t, sen(t) y cos(t) en función de x
Ejemplos resueltos
Problema 1Calcular ∫log₁₀(3x)dx
Calcular ∫log₁₀(3x)dx
Solución:
- 1Asignar u = log₁₀(3x) y dv = dx
- 2Calcular du = (1/(3x·ln(10)))·3·dx = dx/(x·ln(10))
- 3Calcular v = x
- 4Aplicar la fórmula: u·v - ∫v·du = x·log₁₀(3x) - ∫(x·1/(x·ln(10)))dx
- 5Simplificar: x·log₁₀(3x) - (1/ln(10))∫dx
- 6Integrar: x·log₁₀(3x) - x/ln(10) + C
x·log₁₀(3x) - x/ln(10) + C
Verificación: Derivar el resultado debe dar log₁₀(3x)
Problema 2Calcular ∫cos²(x)dx usando integración por partes
Calcular ∫cos²(x)dx usando integración por partes
Solución:
- 1Escribir cos²(x) = cos(x)·cos(x)
- 2Asignar u = cos(x), dv = cos(x)dx, entonces du = -sen(x)dx, v = sen(x)
- 3Aplicar partes: sen(x)·cos(x) - ∫sen(x)·(-sen(x))dx = sen(x)·cos(x) + ∫sen²(x)dx
- 4Usar la identidad sen²(x) = 1 - cos²(x)
- 5Sustituir: sen(x)·cos(x) + ∫(1 - cos²(x))dx
- 6Obtener: 2∫cos²(x)dx = sen(x)·cos(x) + x
- 7Despejar: ∫cos²(x)dx = (sen(x)·cos(x) + x)/2 + C
(x + sen(x)·cos(x))/2 + C
Verificación: Derivar: (1 + cos²(x) - sen²(x))/2 = (1 + cos(2x))/2 = cos²(x) ✓
Problema 3Calcular ∫cos²(x)dx usando fórmulas trigonométricas
Calcular ∫cos²(x)dx usando fórmulas trigonométricas
Solución:
- 1Usar la identidad del ángulo doble: cos(2x) = cos²(x) - sen²(x)
- 2Combinar con cos²(x) + sen²(x) = 1 para obtener: cos²(x) = (1 + cos(2x))/2
- 3Sustituir: ∫cos²(x)dx = ∫(1 + cos(2x))/2 dx
- 4Separar: (1/2)∫1dx + (1/2)∫cos(2x)dx
- 5Integrar: (1/2)·x + (1/2)·(sen(2x)/2)
- 6Usar sen(2x) = 2·sen(x)·cos(x): x/2 + sen(x)·cos(x)/2
(x + sen(x)·cos(x))/2 + C
Verificación: Coincide con el resultado obtenido por partes
Problema 4Calcular ∫√(1-x²)dx
Calcular ∫√(1-x²)dx
Solución:
- 1Hacer el cambio de variable x = sen(t), entonces dx = cos(t)dt
- 2Sustituir: √(1-x²) = √(1-sen²(t)) = √(cos²(t)) = cos(t)
- 3La integral se transforma en: ∫cos(t)·cos(t)dt = ∫cos²(t)dt
- 4Usar el resultado anterior: (t + sen(t)·cos(t))/2 + C
- 5Deshacer el cambio: t = arcsen(x), sen(t) = x, cos(t) = √(1-x²)
- 6Sustituir: (arcsen(x) + x·√(1-x²))/2 + C
(arcsen(x) + x·√(1-x²))/2 + C
Verificación: Derivar debe dar √(1-x²)
Integración por partes: métodos alternativos y ejemplos resueltos
Introducción
La integración por partes es una de las técnicas fundamentales del cálculo integral, pero no siempre es el camino más eficiente para resolver una integral. En esta lección exploraremos cómo combinar la integración por partes con otros métodos —como las identidades trigonométricas y los cambios de variable— para resolver integrales de forma más elegante y directa.
El objetivo no es solo dominar cada técnica por separado, sino desarrollar el criterio necesario para elegir el método óptimo en cada situación. Como veremos, algunas integrales que aparentemente requieren partes pueden resolverse de forma mucho más simple con las herramientas adecuadas.
La integral del logaritmo en base 10
Planteamiento del problema
Consideremos la integral: $$\int \log_{10}(3x),dx$$
Cuando aparece un logaritmo en una integral, la integración por partes es prácticamente obligatoria. El logaritmo no tiene una primitiva elemental directa, por lo que debemos derivarlo.
Aplicación del método
Paso 1: Asignación de funciones
- u = log₁₀(3x) (se deriva)
- dv = dx (se integra)
Paso 2: Cálculo de du y v
Para la derivada del logaritmo decimal, recordamos que: $$\frac{d}{dx}[\log_{10}(u)] = \frac{u'}{u \cdot \ln(10)}$$
Por tanto: $$du = \frac{3}{3x \cdot \ln(10)}dx = \frac{1}{x \cdot \ln(10)}dx$$
Y la primitiva de 1 es simplemente: $$v = x$$
Paso 3: Aplicación de la fórmula
Usando ∫u·dv = u·v - ∫v·du: $$\int \log_{10}(3x),dx = x \cdot \log_{10}(3x) - \int \frac{x}{x \cdot \ln(10)}dx$$
Simplificando: $$= x \cdot \log_{10}(3x) - \frac{1}{\ln(10)}\int dx$$ $$= x \cdot \log_{10}(3x) - \frac{x}{\ln(10)} + C$$
Nota importante
Una alternativa es convertir el logaritmo a base e usando la fórmula de cambio de base: log₁₀(3x) = ln(3x)/ln(10). Esto puede simplificar los cálculos porque la derivada de ln(3x) es simplemente 1/x, sin el factor adicional.
La integral del coseno al cuadrado: dos métodos
La integral ∫cos²(x)dx es especialmente instructiva porque puede resolverse tanto por partes como mediante identidades trigonométricas, permitiéndonos comparar ambos enfoques.
Método 1: Integración por partes
Planteamiento
Escribimos cos²(x) como un producto: cos(x)·cos(x)
Asignamos:
- u = cos(x) → du = -sen(x)dx
- dv = cos(x)dx → v = sen(x)
Primera aplicación $$\int \cos^2(x),dx = \sin(x)\cos(x) - \int \sin(x) \cdot (-\sin(x)),dx$$ $$= \sin(x)\cos(x) + \int \sin^2(x),dx$$
El problema del ciclo
Aquí surge un problema: si intentamos integrar sen²(x) por partes, obtendremos cos²(x) de nuevo, creando un ciclo infinito. La solución es usar la relación fundamental de la trigonometría.
Ruptura del ciclo
Sabemos que sen²(x) + cos²(x) = 1, por tanto sen²(x) = 1 - cos²(x).
Sustituyendo: $$\int \cos^2(x),dx = \sin(x)\cos(x) + \int (1 - \cos^2(x)),dx$$ $$\int \cos^2(x),dx = \sin(x)\cos(x) + x - \int \cos^2(x),dx$$
Ahora la integral aparece en ambos lados. Sumamos ∫cos²(x)dx a ambos lados: $$2\int \cos^2(x),dx = \sin(x)\cos(x) + x$$
Resultado $$\int \cos^2(x),dx = \frac{x + \sin(x)\cos(x)}{2} + C$$
Método 2: Fórmulas del ángulo doble
Existe un camino más directo que evita completamente la integración por partes.
Derivación de la identidad
Partimos de dos ecuaciones:
- cos(2x) = cos²(x) - sen²(x) (fórmula del ángulo doble)
- 1 = cos²(x) + sen²(x) (relación fundamental)
Sumando ambas: $$1 + \cos(2x) = 2\cos^2(x)$$
Despejando: $$\cos^2(x) = \frac{1 + \cos(2x)}{2}$$
Integración directa $$\int \cos^2(x),dx = \int \frac{1 + \cos(2x)}{2},dx$$ $$= \frac{1}{2}\int 1,dx + \frac{1}{2}\int \cos(2x),dx$$ $$= \frac{x}{2} + \frac{\sin(2x)}{4} + C$$
Verificación de equivalencia
Usando sen(2x) = 2·sen(x)·cos(x): $$\frac{x}{2} + \frac{2\sin(x)\cos(x)}{4} = \frac{x}{2} + \frac{\sin(x)\cos(x)}{2} = \frac{x + \sin(x)\cos(x)}{2}$$
¡Ambos métodos producen exactamente el mismo resultado!
Comparación de métodos
| Aspecto | Integración por partes | Fórmula trigonométrica |
|---|---|---|
| Pasos | Más numerosos | Menos pasos |
| Riesgo de error | Mayor (ciclo posible) | Menor |
| Requisitos | Conocer la fórmula de partes | Conocer identidades del ángulo doble |
| Elegancia | Mecánico | Más directo |
La conclusión es clara: para potencias pares de seno o coseno, las fórmulas del ángulo doble son generalmente preferibles.
Integrales con radicales: cambio trigonométrico
Las integrales que contienen expresiones como √(1-x²) requieren un tratamiento especial mediante cambios de variable trigonométricos.
El problema
$$\int \sqrt{1-x^2},dx$$
Esta integral no puede resolverse directamente por partes ni por sustitución algebraica simple. La clave está en reconocer la estructura de la expresión bajo la raíz.
El cambio de variable
Si hacemos x = sen(t), entonces:
- dx = cos(t)dt
- x² = sen²(t)
- 1 - x² = 1 - sen²(t) = cos²(t)
- √(1-x²) = √(cos²(t)) = cos(t)
Transformación de la integral
$$\int \sqrt{1-x^2},dx = \int \cos(t) \cdot \cos(t),dt = \int \cos^2(t),dt$$
¡Esta es exactamente la integral que acabamos de resolver!
Usando el resultado anterior: $$\int \cos^2(t),dt = \frac{t + \sin(t)\cos(t)}{2} + C$$
Deshaciendo el cambio de variable
Para volver a la variable x, necesitamos expresar t, sen(t) y cos(t) en función de x:
-
t en función de x: Si x = sen(t), entonces t = arcsen(x)
-
sen(t) en función de x: Directamente, sen(t) = x
-
cos(t) en función de x: Usando cos²(t) = 1 - sen²(t) = 1 - x² Por tanto: cos(t) = √(1-x²)
Resultado final
Sustituyendo: $$\int \sqrt{1-x^2},dx = \frac{\arcsin(x) + x\sqrt{1-x^2}}{2} + C$$
Guía de cambios trigonométricos
| Expresión bajo la raíz | Cambio de variable | Resultado |
|---|---|---|
| √(1-x²) | x = sen(t) | cos(t) |
| √(1+x²) | x = tan(t) | sec(t) |
| √(x²-1) | x = sec(t) | tan(t) |
Conclusiones y estrategia general
Cuándo usar cada método
-
Integración por partes obligatoria:
- Productos de funciones de diferente naturaleza (logaritmo × polinomio, exponencial × trigonométrica)
- Funciones logarítmicas o trigonométricas inversas solas
-
Fórmulas trigonométricas preferibles:
- Potencias pares de seno o coseno: sen²(x), cos²(x), sen⁴(x), etc.
- Productos de senos y cosenos con argumentos diferentes
-
Cambio trigonométrico necesario:
- Radicales con estructura √(a²-x²), √(a²+x²) o √(x²-a²)
- Cuando necesitamos eliminar una raíz cuadrada
Resumen de identidades clave
- Relación fundamental: sen²(x) + cos²(x) = 1
- Coseno del ángulo doble: cos(2x) = cos²(x) - sen²(x)
- Seno del ángulo doble: sen(2x) = 2·sen(x)·cos(x)
- Reducción de potencias: cos²(x) = (1 + cos(2x))/2, sen²(x) = (1 - cos(2x))/2
Dominar estas herramientas y saber cuándo aplicar cada una es la clave para resolver integrales de forma eficiente en los exámenes de Selectividad.
Errores comunes
Aplicar integración por partes a cos²(x) dos veces consecutivas
Al hacer partes por segunda vez, aparece la integral original con signo negativo
Usar la relación fundamental sen²(x) + cos²(x) = 1 para transformar sen²(x) en 1 - cos²(x)
Olvidar el factor 1/ln(10) al derivar logaritmos en base 10
La derivada de log₁₀(u) = u'/(u·ln(10)), no simplemente u'/u
Recordar que la derivada del logaritmo en base a es 1/(x·ln(a))
No deshacer completamente el cambio de variable trigonométrico
La respuesta final contiene la variable t en lugar de x
Expresar t = arcsen(x), sen(t) = x y cos(t) = √(1-x²) antes de escribir la respuesta
Confundir cuándo usar x = sen(t) vs x = cos(t) vs x = tan(t)
La simplificación de la raíz no funciona correctamente
Para √(1-x²) usar x = sen(t); para √(1+x²) usar x = tan(t); para √(x²-1) usar x = sec(t)
Glosario
- Integración por partes
- Método de integración basado en la regla del producto de derivadas: ∫u·dv = u·v - ∫v·du
- Relación fundamental de la trigonometría
- Identidad sen²(x) + cos²(x) = 1, válida para todo ángulo x
- Fórmula del ángulo doble
- Identidades que expresan funciones trigonométricas de 2x en términos de x: cos(2x) = cos²(x) - sen²(x), sen(2x) = 2·sen(x)·cos(x)
- Cambio de variable
- Técnica de integración que sustituye x por una función de otra variable t para simplificar la integral
- Cambio trigonométrico
- Tipo específico de cambio de variable donde x se sustituye por una función trigonométrica (sen, cos, tan) para eliminar radicales
- Arcoseno (arcsen)
- Función inversa del seno, tal que si sen(t) = x entonces t = arcsen(x), con dominio [-1,1]
- Logaritmo en base 10
- Logaritmo decimal, cuya derivada es 1/(x·ln(10)), a diferencia del logaritmo neperiano cuya derivada es 1/x
- Primitiva
- Función F(x) cuya derivada es f(x), también llamada antiderivada o integral indefinida
Preguntas frecuentes
¿Cuándo debo usar integración por partes y cuándo métodos alternativos?
Usa métodos alternativos cuando existan identidades trigonométricas o cambios de variable que simplifiquen la integral significativamente.
La integración por partes es necesaria cuando tienes productos de funciones de diferente naturaleza (logaritmo por polinomio, exponencial por trigonométrica). Sin embargo, para integrales como cos²(x) o sen²(x), las fórmulas del ángulo doble son más directas. Para radicales como √(1-x²), los cambios trigonométricos son obligatorios.
¿Por qué al integrar cos²(x) por partes dos veces vuelvo al inicio?
Porque al derivar coseno obtienes seno y viceversa, creando un ciclo. Debes usar la relación fundamental para romperlo.
Al hacer partes con cos·cos, obtienes sen²(x). Si haces partes otra vez con sen·sen, vuelves a cos²(x). La clave es usar sen²(x) = 1 - cos²(x) para convertir la integral de sen²(x) en una expresión con cos²(x) y así obtener una ecuación donde la integral aparece en ambos lados.
¿Cómo sé qué cambio trigonométrico usar para eliminar una raíz?
Para √(1-x²) usa x=sen(t), para √(1+x²) usa x=tan(t), para √(x²-1) usa x=sec(t).
El objetivo es que la expresión bajo la raíz se convierta en un cuadrado perfecto de una función trigonométrica. Si tienes 1-x², al poner x=sen(t) obtienes 1-sen²(t)=cos²(t). Si tienes 1+x², con x=tan(t) obtienes 1+tan²(t)=sec²(t). Estas identidades provienen de la relación fundamental.
¿Por qué la derivada de log₁₀(x) tiene ln(10) en el denominador?
Porque log₁₀(x) = ln(x)/ln(10), y al derivar aparece el factor 1/ln(10).
La fórmula de cambio de base establece que logₐ(x) = ln(x)/ln(a). Al derivar, la derivada de ln(x) es 1/x, pero el ln(a) permanece como constante en el denominador. Por eso d/dx[log₁₀(x)] = 1/(x·ln(10)) ≈ 1/(2.303·x).
¿Cómo deshago el cambio de variable x = sen(t)?
Expresa t = arcsen(x), sen(t) = x y cos(t) = √(1-x²), luego sustituye en el resultado.
Si x = sen(t), entonces t = arcsen(x) directamente. Para cos(t), usa la identidad cos²(t) = 1 - sen²(t) = 1 - x², por tanto cos(t) = √(1-x²). Cualquier expresión en t debe convertirse usando estas relaciones.
¿La identidad cos²(x) = (1 + cos(2x))/2 se puede demostrar?
Sí, sumando la relación fundamental con la fórmula del coseno del ángulo doble.
Partiendo de cos(2x) = cos²(x) - sen²(x) y sumándole la identidad 1 = cos²(x) + sen²(x), obtienes 1 + cos(2x) = 2·cos²(x). Despejando: cos²(x) = (1 + cos(2x))/2. De forma análoga, sen²(x) = (1 - cos(2x))/2.
¿Puedo usar logaritmo neperiano en lugar de base 10 para simplificar?
Sí, puedes hacer un cambio de base log₁₀(3x) = ln(3x)/ln(10) y trabajar con ln.
Al expresar el logaritmo en base 10 como ln(3x)/ln(10), el factor 1/ln(10) sale como constante. La integral de ln(3x) se hace por partes de forma más limpia porque la derivada de ln(3x) es simplemente 1/x, sin coeficientes adicionales.
¿Por qué el resultado de ∫cos²(x)dx puede escribirse de dos formas equivalentes?
Porque x/2 + sen(2x)/4 = (x + sen(x)·cos(x))/2 usando sen(2x) = 2·sen(x)·cos(x).
Ambas expresiones son correctas y difieren solo en la forma de escribir la parte trigonométrica. Usando la identidad del seno del ángulo doble: sen(2x)/4 = 2·sen(x)·cos(x)/4 = sen(x)·cos(x)/2. Al sumar con x/2, se obtiene (x + sen(x)·cos(x))/2.
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