Cómo calcular la ecuación de la recta tangente a una función

La recta tangente es un concepto fundamental en el cálculo diferencial que conecta directamente con la derivada de una función. En esta guía completa aprenderás a calcular la ecuación de la recta tangente en cualquier situación que puedas encontrar en tus exámenes de Matemáticas II para la PCE.

¿Qué es una recta tangente?

La recta tangente a una función en un punto es la recta que toca la curva en un único punto y representa la mejor aproximación lineal de la función en ese punto. Geométricamente, si te acercas mucho al punto de tangencia, la recta tangente y la curva son prácticamente indistinguibles.

Esta definición tiene una consecuencia matemática crucial: la pendiente de la recta tangente en un punto coincide con el valor de la derivada en ese punto.

La fórmula de la recta tangente

Si tenemos una función f(x) que es derivable en un punto x = a, la ecuación de la recta tangente en ese punto es:

$$y = f'(a) \cdot (x - a) + f(a)$$

Donde:

• f'(a) es la derivada evaluada en el punto a (nos da la pendiente)
• f(a) es el valor de la función en el punto a (nos da la ordenada del punto de tangencia)
• (a, f(a)) es el punto de tangencia

¿Cómo se deduce esta fórmula?

Partimos de la ecuación punto-pendiente de una recta:

$$y - y_0 = m \cdot (x - x_0)$$

Sabemos que:

1. La recta pasa por el punto de tangencia $(a, f(a))$, así que $x_0 = a$ e $y_0 = f(a)$
2. La pendiente es la derivada en ese punto: $m = f'(a)$

Sustituyendo: $$y - f(a) = f'(a) \cdot (x - a)$$ $$y = f'(a) \cdot (x - a) + f(a)$$

Los tres casos de la recta tangente

En los problemas de recta tangente, la información que te dan determina cómo debes proceder. Existen tres casos típicos:

Caso 1: Conociendo el punto de tangencia

Este es el caso más directo. Te dan la función y el valor de x donde quieres calcular la tangente.

Procedimiento:

1. Calcular la derivada f'(x)
2. Evaluar f'(a) para obtener la pendiente
3. Calcular f(a) para obtener la ordenada del punto
4. Sustituir todo en la fórmula

Ejemplo resuelto:

Calcular la recta tangente a $f(x) = x^3 - 4x + 1$ en el punto $x = -1$.

Solución:

Paso 1: Derivamos la función $$f'(x) = 3x^2 - 4$$

Paso 2: Evaluamos la derivada en x = -1 $$f'(-1) = 3 \cdot (-1)^2 - 4 = 3 - 4 = -1$$

La pendiente de la recta tangente es m = -1.

Paso 3: Calculamos f(-1) $$f(-1) = (-1)^3 - 4 \cdot (-1) + 1 = -1 + 4 + 1 = 4$$

El punto de tangencia es (-1, 4).

Paso 4: Sustituimos en la fórmula $$y = -1 \cdot (x - (-1)) + 4 = -1 \cdot (x + 1) + 4 = -x - 1 + 4$$

Resultado: $y = -x + 3$

Caso 2: Conociendo una recta paralela

Te dan la función y una recta a la cual la tangente debe ser paralela. Como las rectas paralelas tienen la misma pendiente, debes encontrar dónde la derivada iguala esa pendiente.

Procedimiento:

1. Identificar la pendiente m de la recta paralela
2. Igualar f'(x) = m y resolver para x
3. El valor obtenido es el punto de tangencia a
4. Aplicar la fórmula con los valores calculados

Ejemplo resuelto:

Hallar la recta tangente a $f(x) = \ln(x+1)$ que sea paralela a $y = 2x - 5$.

Solución:

Paso 1: La pendiente de la recta paralela es m = 2.

Paso 2: Derivamos e igualamos $$f'(x) = \frac{1}{x+1} = 2$$

Resolviendo: $x + 1 = \frac{1}{2}$, entonces $x = -\frac{1}{2}$

Paso 3: El punto de tangencia es $x = -\frac{1}{2}$ $$f\left(-\frac{1}{2}\right) = \ln\left(-\frac{1}{2}+1\right) = \ln\left(\frac{1}{2}\right)$$

Paso 4: Aplicamos la fórmula $$y = 2 \cdot \left(x + \frac{1}{2}\right) + \ln\left(\frac{1}{2}\right)$$

Resultado: $y = 2x + 1 + \ln\left(\frac{1}{2}\right) = 2x + 1 - \ln(2)$

Caso 3: Conociendo un punto exterior

Te dan un punto que NO pertenece a la curva y quieres encontrar las rectas tangentes que pasan por él. Este caso es más complejo porque puede haber varias soluciones.

Procedimiento:

1. Escribir la ecuación de la tangente general con a como incógnita
2. Imponer que la recta pase por el punto exterior dado
3. Resolver la ecuación resultante (puede ser cuadrática)
4. Cada solución da un punto de tangencia y una recta diferente

Ejemplo resuelto:

Encontrar las rectas tangentes a $f(x) = x^2 - 3$ que pasan por el punto $(0, -5)$.

Solución:

Paso 1: Sea a el punto de tangencia desconocido.

• Derivada: $f'(x) = 2x$, entonces $f'(a) = 2a$
• Punto de tangencia: $(a, a^2 - 3)$

La ecuación de la tangente es: $$y = 2a(x - a) + (a^2 - 3)$$

Paso 2: Imponemos que pase por (0, -5) $$-5 = 2a(0 - a) + a^2 - 3$$ $$-5 = -2a^2 + a^2 - 3$$ $$-5 = -a^2 - 3$$ $$a^2 = 2$$ $$a = \pm\sqrt{2}$$

Paso 3: Hay dos soluciones, es decir, dos rectas tangentes.

Para $a = \sqrt{2}$:

• Pendiente: $2\sqrt{2}$
• Recta: $y = 2\sqrt{2} \cdot x - 5$

Para $a = -\sqrt{2}$:

• Pendiente: $-2\sqrt{2}$
• Recta: $y = -2\sqrt{2} \cdot x - 5$

Errores comunes a evitar

1. Confundir el punto de tangencia con cualquier punto de la recta: El punto (a, f(a)) debe estar en la curva original.

2. Pensar que la derivada es la recta tangente: La derivada solo da la pendiente; necesitas la fórmula completa.

3. Errores de signo con valores negativos: Cuando a < 0, cuidado con (x - a) = (x - (-|a|)) = (x + |a|).

4. Olvidar múltiples soluciones en el caso de punto exterior: Resuelve completamente la ecuación y considera todas las raíces reales.

Verificación del resultado

Siempre puedes comprobar tu respuesta:

1. El punto de tangencia debe satisfacer la ecuación de la recta: Sustituye (a, f(a)) en tu recta.

2. La pendiente de tu recta debe ser f'(a): Si escribes y = mx + n, verifica que m = f'(a).

3. En el caso de punto exterior: El punto dado debe satisfacer la ecuación de la recta.

Resumen de fórmulas

Conclusión

La recta tangente es una aplicación directa del concepto de derivada. Dominar los tres casos (punto de tangencia conocido, recta paralela y punto exterior) te permitirá resolver cualquier problema que aparezca en tus exámenes de Matemáticas II. Recuerda siempre verificar tus resultados y prestar especial atención a los signos.