Integración por partes: método, fórmula y ejemplos resueltos

La integración por partes es una de las técnicas más importantes del cálculo integral. Se utiliza principalmente cuando nos encontramos con integrales que involucran el producto de dos funciones de tipos distintos, como un polinomio multiplicado por una exponencial.

¿Qué es la integración por partes?

La integración por partes es un método que transforma una integral difícil en otra más sencilla. Su fórmula fundamental es:

$$\int u \cdot dv = u \cdot v - \int v \cdot du$$

Esta fórmula nos permite "transferir" la derivada de una función a otra, simplificando progresivamente la integral hasta obtener una que podamos resolver directamente.

Deducción de la fórmula

La fórmula de integración por partes no aparece de la nada: se deduce directamente de la regla del producto para derivadas.

Partimos de dos funciones u(x) y v(x). Sabemos que la derivada de su producto es:

$$(u \cdot v)' = u' \cdot v + u \cdot v'$$

Expresando las derivadas como cocientes de diferenciales:

$$\frac{d(uv)}{dx} = \frac{du}{dx} \cdot v + u \cdot \frac{dv}{dx}$$

Multiplicando ambos lados por dx:

$$d(uv) = v \cdot du + u \cdot dv$$

Si ahora integramos ambos lados de la ecuación:

$$\int d(uv) = \int v \cdot du + \int u \cdot dv$$

$$uv = \int v \cdot du + \int u \cdot dv$$

Despejando la integral que nos interesa:

$$\int u \cdot dv = uv - \int v \cdot du$$

Esta es la fórmula de integración por partes.

Regla mnemotécnica: "Un día vi una vaca vestida de uniforme"

Para recordar la fórmula existe una frase clásica que ha ayudado a generaciones de estudiantes:

"Un día vi una vaca vestida de uniforme"

Cada inicial de las palabras corresponde a un elemento de la fórmula:

• Un Día Vi → ∫u·dv
• Una Vaca → u·v
• Vestida De Uniforme → -∫v·du

Aunque esta regla es útil para memorizar, lo más recomendable es entender la deducción de la fórmula para poder aplicarla correctamente en cualquier situación.

¿Cómo elegir u y dv?

La clave del éxito en integración por partes está en elegir correctamente qué función será u y cuál será dv. La regla general es:

• u = la función que se simplifica al derivar (generalmente el polinomio)
• dv = la función que se integra fácilmente (generalmente la exponencial)

¿Por qué el polinomio va como u?

Cuando derivamos un polinomio, su grado disminuye en 1. Por ejemplo:

• Si u = x², entonces du = 2x dx (grado 2 → grado 1)
• Si u = x³, entonces du = 3x² dx (grado 3 → grado 2)

Cada vez que aplicamos partes, el polinomio "pierde" un grado. Eventualmente, se convierte en una constante y la integral se resuelve.

¿Por qué la exponencial va como dv?

Las exponenciales tienen la propiedad de que su integral es muy similar a sí mismas:

• Si dv = eˣdx, entonces v = eˣ
• Si dv = 2ˣdx, entonces v = 2ˣ/ln(2)

Integrar exponenciales no complica el problema; derivar polinomios lo simplifica.

Ejemplo 1: ∫6x·eˣ dx

Veamos un primer ejemplo con un polinomio de grado 1 y la exponencial natural.

Paso 1: Identificar u y dv

• u = 6x → du = 6dx
• dv = eˣdx → v = eˣ

Paso 2: Aplicar la fórmula $$\int 6x \cdot e^x dx = 6x \cdot e^x - \int e^x \cdot 6dx$$

Paso 3: Resolver la integral restante $$= 6x \cdot e^x - 6 \int e^x dx = 6xe^x - 6e^x + C$$

Resultado final: $$\int 6x \cdot e^x dx = 6e^x(x - 1) + C$$

Verificación: Derivamos el resultado: $$\frac{d}{dx}[6e^x(x-1)] = 6e^x(x-1) + 6e^x = 6xe^x - 6e^x + 6e^x = 6xe^x \checkmark$$

Ejemplo 2: ∫x²·2ˣ dx (aplicación doble)

Cuando el polinomio tiene grado 2 o mayor, necesitamos aplicar partes más de una vez.

Primera aplicación:

• u = x² → du = 2x dx
• dv = 2ˣdx → v = 2ˣ/ln(2)

$$\int x^2 \cdot 2^x dx = \frac{x^2 \cdot 2^x}{\ln 2} - \int \frac{2^x}{\ln 2} \cdot 2x dx$$

$$= \frac{x^2 \cdot 2^x}{\ln 2} - \frac{2}{\ln 2} \int x \cdot 2^x dx$$

Observamos que la nueva integral ∫x·2ˣdx sigue siendo producto de funciones, pero ahora el polinomio tiene grado 1 en lugar de 2. ¡Progreso!

Segunda aplicación:

• u = x → du = dx
• dv = 2ˣdx → v = 2ˣ/ln(2)

$$\int x \cdot 2^x dx = \frac{x \cdot 2^x}{\ln 2} - \int \frac{2^x}{\ln 2} dx = \frac{x \cdot 2^x}{\ln 2} - \frac{2^x}{\ln^2 2}$$

Sustituyendo: $$\int x^2 \cdot 2^x dx = \frac{x^2 \cdot 2^x}{\ln 2} - \frac{2}{\ln 2}\left(\frac{x \cdot 2^x}{\ln 2} - \frac{2^x}{\ln^2 2}\right) + C$$

$$= \frac{x^2 \cdot 2^x}{\ln 2} - \frac{2x \cdot 2^x}{\ln^2 2} + \frac{2 \cdot 2^x}{\ln^3 2} + C$$

Nota importante: Cuando aplicamos partes varias veces, debemos arrastrar cuidadosamente todos los coeficientes (como el 2/ln(2) en este caso).

Ejemplo 3: ∫(2x+1)·5ˣ dx

Otro ejemplo con polinomio de grado 1, pero con exponencial de base 5.

Identificamos:

• u = 2x + 1 → du = 2dx
• dv = 5ˣdx → v = 5ˣ/ln(5)

Aplicamos la fórmula: $$\int (2x+1) \cdot 5^x dx = \frac{(2x+1) \cdot 5^x}{\ln 5} - \int \frac{5^x}{\ln 5} \cdot 2dx$$

$$= \frac{(2x+1) \cdot 5^x}{\ln 5} - \frac{2}{\ln 5} \int 5^x dx$$

$$= \frac{(2x+1) \cdot 5^x}{\ln 5} - \frac{2}{\ln 5} \cdot \frac{5^x}{\ln 5} + C$$

Resultado final: $$\int (2x+1) \cdot 5^x dx = \frac{(2x+1) \cdot 5^x}{\ln 5} - \frac{2 \cdot 5^x}{\ln^2 5} + C$$

Resumen del método

1. Identifica si la integral es producto de dos funciones de tipos distintos
2. Elige u como el polinomio (se deriva) y dv como la exponencial (se integra)
3. Calcula du derivando u, y v integrando dv
4. Aplica la fórmula: ∫u·dv = u·v - ∫v·du
5. Repite si es necesario hasta que la integral se resuelva
6. No olvides la constante de integración C

Errores frecuentes a evitar

• Elegir mal u y dv: Si eliges la exponencial como u, la integral se complica
• Olvidar coeficientes: Al aplicar partes múltiples veces, arrastra todos los factores
• Confundir signos: La fórmula tiene un signo menos, no más
• Olvidar ln(a): La integral de aˣ es aˣ/ln(a), no solo aˣ

Con práctica, la integración por partes se convierte en una herramienta natural para resolver integrales complejas.