Distribución binomial: ejemplos prácticos de probabilidad discreta
Respuesta rápida
La distribución binomial calcula la probabilidad de obtener exactamente k éxitos en n repeticiones independientes de un experimento con probabilidad de éxito p. Se aplica la fórmula P(X=k) = C(n,k) · p^k · (1-p)^(n-k), donde C(n,k) es el número combinatorio. Es fundamental identificar n (número de repeticiones), p (probabilidad de éxito) y k (número de éxitos deseados).
Puntos clave
Fórmula binomial
P(X=k) = C(n,k) · p^k · (1-p)^(n-k) donde n es el número de ensayos, k los éxitos deseados y p la probabilidad de éxito.
Control de calidad
Un plan N=200, C=2 acepta el 99.88% de lotes buenos y solo el 0.23% de lotes malos, demostrando la efectividad de la binomial.
Seguros y supervivencia
Con p=2/3 de supervivencia, hay un 79.1% de probabilidad de que al menos 3 de 5 personas vivan 30+ años.
Más caras que cruces
En 4 lanzamientos de moneda, la probabilidad de más caras que cruces es 5/16 = 31.25%.
Sucesos independientes
Para combinar infracciones independientes: P(A∪B) = P(A) + P(B) - P(A)·P(B). Luego aplicar binomial al resultado.
Truco del complementario
Para P(X≥1), calcula 1 - P(X=0). Es más rápido que sumar todas las probabilidades desde 1 hasta n.
Paso a paso
Identifica si el problema es binomial: debe haber n repeticiones independientes con solo dos resultados posibles (éxito/fracaso) y probabilidad p constante
Define los parámetros: n (número de repeticiones) y p (probabilidad de éxito en cada ensayo)
Identifica qué probabilidad te piden: exactamente k, al menos k, como máximo k
Aplica la fórmula P(X=k) = C(n,k) · p^k · (1-p)^(n-k) para cada valor necesario
Para probabilidades acumuladas, suma las probabilidades individuales o usa el complementario
Ejemplos resueltos
Problema 1De un lote grande tomamos una muestra de 200 unidades. Aceptamos el lote si hay como máximo 2 defectuosas. Si el 0.1% del lote es defectuoso, ¿cuál es la probabilidad de aceptar el lote?
De un lote grande tomamos una muestra de 200 unidades. Aceptamos el lote si hay como máximo 2 defectuosas. Si el 0.1% del lote es defectuoso, ¿cuál es la probabilidad de aceptar el lote?
Solución:
- 1Identificamos: X = número de piezas defectuosas, n = 200, p = 0.001 (0.1%)
- 2Queremos P(X ≤ 2) = P(X=0) + P(X=1) + P(X=2)
- 3Calculamos cada término con la fórmula binomial
- 4P(X ≤ 2) = Σ desde i=0 hasta 2 de C(200,i) · (0.001)^i · (0.999)^(200-i)
- 5P(X ≤ 2) ≈ 0.9988
La probabilidad de aceptar el lote bueno es 0.9988 (99.88%). De cada 1000 lotes buenos, rechazamos solo 1 con este plan de inspección.
Verificación: El resultado cercano a 1 tiene sentido porque con solo 0.1% de defectos, es muy probable encontrar 2 o menos en 200 unidades
Problema 2Un agente de seguros vende pólizas a 5 personas. La probabilidad de que cada una viva 30 años más es 2/3. ¿Cuál es la probabilidad de que vivan exactamente las 5 personas?
Un agente de seguros vende pólizas a 5 personas. La probabilidad de que cada una viva 30 años más es 2/3. ¿Cuál es la probabilidad de que vivan exactamente las 5 personas?
Solución:
- 1Identificamos: X = número de personas que viven 30+ años, n = 5, p = 2/3
- 2Queremos P(X = 5)
- 3Aplicamos: P(X=5) = C(5,5) · (2/3)^5 · (1/3)^0
- 4P(X=5) = 1 · (32/243) · 1 = 32/243
P(X=5) = 0.132 (13.2%). Hay un 13.2% de probabilidad de que las 5 personas vivan más de 30 años.
Verificación: Es razonable: aunque cada persona tiene 66.7% de probabilidad, que TODAS sobrevivan es menos probable
Problema 3Si la probabilidad de que cada persona viva 30+ años es 2/3, ¿cuál es la probabilidad de que al menos 3 de las 5 personas sobrevivan?
Si la probabilidad de que cada persona viva 30+ años es 2/3, ¿cuál es la probabilidad de que al menos 3 de las 5 personas sobrevivan?
Solución:
- 1Identificamos: n = 5, p = 2/3, queremos P(X ≥ 3)
- 2P(X ≥ 3) = P(X=3) + P(X=4) + P(X=5)
- 3P(X=3) = C(5,3) · (2/3)^3 · (1/3)^2 = 10 · (8/27) · (1/9) = 80/243
- 4P(X=4) = C(5,4) · (2/3)^4 · (1/3)^1 = 5 · (16/81) · (1/3) = 80/243
- 5P(X=5) = 32/243 (calculado anteriormente)
- 6P(X ≥ 3) = 80/243 + 80/243 + 32/243 = 192/243
P(X ≥ 3) = 0.791 (79.1%). Hay un 79.1% de probabilidad de que 3 o más personas sobrevivan.
Verificación: Tiene sentido que sea alta porque p=2/3 es relativamente grande
Problema 4Lanzamos una moneda 4 veces. ¿Cuál es la probabilidad de obtener más caras que cruces?
Lanzamos una moneda 4 veces. ¿Cuál es la probabilidad de obtener más caras que cruces?
Solución:
- 1Identificamos: X = número de caras, n = 4, p = 1/2
- 2Más caras que cruces significa X > 2, es decir, X ≥ 3
- 3P(X ≥ 3) = P(X=3) + P(X=4)
- 4P(X=3) = C(4,3) · (1/2)^3 · (1/2)^1 = 4 · (1/16) = 4/16
- 5P(X=4) = C(4,4) · (1/2)^4 · (1/2)^0 = 1 · (1/16) = 1/16
- 6P(X ≥ 3) = 4/16 + 1/16 = 5/16
P(más caras que cruces) = 5/16 = 0.3125 (31.25%)
Verificación: Por simetría, P(más cruces) también es 31.25%, y P(empate) = P(X=2) = 6/16 = 37.5%. Total: 100%
Problema 5El 5% de conductores da positivo en alcoholemia y el 10% no lleva cinturón (sucesos independientes). De 5 conductores parados, ¿cuál es la probabilidad de que exactamente 3 hayan cometido alguna infracción?
El 5% de conductores da positivo en alcoholemia y el 10% no lleva cinturón (sucesos independientes). De 5 conductores parados, ¿cuál es la probabilidad de que exactamente 3 hayan cometido alguna infracción?
Solución:
- 1Primero calculamos P(cometer alguna infracción) = P(A ∪ B)
- 2P(A) = 0.05 (alcoholemia), P(B) = 0.10 (cinturón)
- 3Como son independientes: P(A ∩ B) = P(A) · P(B) = 0.05 · 0.10 = 0.005
- 4P(A ∪ B) = P(A) + P(B) - P(A ∩ B) = 0.05 + 0.10 - 0.005 = 0.145
- 5Ahora aplicamos binomial: n = 5, p = 0.145, queremos P(X = 3)
- 6P(X=3) = C(5,3) · (0.145)^3 · (0.855)^2
- 7P(X=3) = 10 · 0.00305 · 0.731 ≈ 0.022
P(exactamente 3 infractores) ≈ 0.022 (2.2%)
Verificación: Es una probabilidad baja porque p=0.145 es pequeña, es raro encontrar 3 de 5
Problema 6Con los mismos datos anteriores, ¿cuál es la probabilidad de que al menos 1 conductor haya cometido alguna infracción?
Con los mismos datos anteriores, ¿cuál es la probabilidad de que al menos 1 conductor haya cometido alguna infracción?
Solución:
- 1Usamos n = 5, p = 0.145 (calculado antes)
- 2P(X ≥ 1) = 1 - P(X = 0) (usamos complementario)
- 3P(X = 0) = C(5,0) · (0.145)^0 · (0.855)^5
- 4P(X = 0) = 1 · 1 · (0.855)^5 ≈ 0.458
- 5P(X ≥ 1) = 1 - 0.458 = 0.542
P(al menos 1 infractor) ≈ 0.54 (54%)
Verificación: En el 54% de los casos de 5 conductores, al menos uno habrá cometido alguna infracción
Distribución Binomial: Guía Completa con Ejemplos Prácticos
La distribución binomial es una de las herramientas más poderosas de la probabilidad para modelar situaciones del mundo real. Desde el control de calidad en fábricas hasta los cálculos actuariales en seguros, esta distribución nos permite calcular la probabilidad de obtener un número específico de éxitos en una serie de experimentos independientes.
¿Qué es la distribución binomial?
La distribución binomial modela el número de éxitos en n ensayos independientes, donde cada ensayo tiene solo dos resultados posibles (éxito o fracaso) y la probabilidad de éxito p permanece constante.
Se denota como B(n, p) y su fórmula fundamental es:
$$P(X = k) = C(n,k) \cdot p^k \cdot (1-p)^{n-k}$$
Donde:
- n = número total de ensayos
- k = número de éxitos deseados
- p = probabilidad de éxito en cada ensayo
- C(n,k) = número combinatorio (formas de elegir k de n)
Condiciones para aplicar la binomial
Antes de usar esta distribución, verifica que se cumplan estas cuatro condiciones:
- Número fijo de ensayos: Sabemos cuántas repeticiones haremos (n)
- Ensayos independientes: El resultado de uno no afecta a los demás
- Solo dos resultados: Éxito o fracaso en cada ensayo
- Probabilidad constante: p no cambia entre ensayos
Ejemplo 1: Control de Calidad en Producción
Planteamiento del problema
Una fábrica implementa un plan de inspección para controlar la calidad de sus lotes. El procedimiento es:
- Tomar una muestra de 200 unidades de cada lote
- Aceptar el lote si hay como máximo 2 unidades defectuosas
- Rechazar si hay 3 o más defectos
Este plan se denota como N=200, C=2.
Caso A: Lote de alta calidad (0.1% defectuosos)
Si un lote tiene solo el 0.1% de defectos, ¿cuál es la probabilidad de aceptarlo?
Identificación de parámetros:
- X = número de piezas defectuosas en la muestra
- n = 200 (tamaño de muestra)
- p = 0.001 (0.1% en decimal)
Cálculo: $$P(X \leq 2) = P(X=0) + P(X=1) + P(X=2)$$
Aplicando la fórmula binomial para cada término: $$P(X \leq 2) \approx 0.9988$$
Interpretación: El plan acepta el 99.88% de los lotes buenos. De cada 1000 lotes de calidad, rechazamos injustamente solo 1.
Caso B: Lote de baja calidad (5% defectuosos)
Ahora con un lote que tiene 5% de defectos:
Parámetros:
- n = 200
- p = 0.05
Cálculo: $$P(X \leq 2) \approx 0.0023$$
Interpretación: Solo el 0.23% de los lotes malos serían aceptados. El plan es muy efectivo para detectar lotes defectuosos.
Ejemplo 2: Cálculos Actuariales en Seguros
Planteamiento
Un agente de seguros vende pólizas de vida a 5 personas de la misma edad y buena salud. Según las tablas actuariales, la probabilidad de que cada persona viva 30 años más es de 2/3.
Variable aleatoria: X = número de personas que sobreviven 30+ años
Parámetros: n = 5, p = 2/3
Pregunta a: ¿Probabilidad de que vivan las 5?
$$P(X = 5) = C(5,5) \cdot \left(\frac{2}{3}\right)^5 \cdot \left(\frac{1}{3}\right)^0$$ $$P(X = 5) = 1 \cdot \frac{32}{243} \cdot 1 = \frac{32}{243} \approx 0.132$$
Resultado: Hay un 13.2% de probabilidad de que las cinco personas sobrevivan.
Pregunta b: ¿Probabilidad de que al menos 3 sobrevivan?
Para "al menos 3", calculamos: $$P(X \geq 3) = P(X=3) + P(X=4) + P(X=5)$$
Desarrollando:
- P(X=3) = C(5,3) · (2/3)³ · (1/3)² = 80/243
- P(X=4) = C(5,4) · (2/3)⁴ · (1/3)¹ = 80/243
- P(X=5) = 32/243
$$P(X \geq 3) = \frac{80 + 80 + 32}{243} = \frac{192}{243} \approx 0.791$$
Resultado: Hay un 79.1% de probabilidad de que sobrevivan 3 o más personas.
Pregunta c: ¿Probabilidad de que sobrevivan exactamente 2?
$$P(X = 2) = C(5,2) \cdot \left(\frac{2}{3}\right)^2 \cdot \left(\frac{1}{3}\right)^3$$ $$P(X = 2) = 10 \cdot \frac{4}{9} \cdot \frac{1}{27} = \frac{40}{243} \approx 0.164$$
Resultado: Hay un 16.4% de probabilidad de que sobrevivan exactamente 2 personas.
Ejemplo 3: Lanzamiento de Monedas
Planteamiento
Lanzamos una moneda equilibrada 4 veces. ¿Cuál es la probabilidad de obtener más caras que cruces?
Análisis del problema
- n = 4 lanzamientos
- p = 1/2 (moneda equilibrada)
- Éxito = sacar cara
- "Más caras que cruces" significa X > 2, es decir, X ≥ 3
Cálculo
$$P(X \geq 3) = P(X=3) + P(X=4)$$
$$P(X=3) = C(4,3) \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^3 \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^1 = 4 \cdot \frac{1}{16} = \frac{4}{16}$$
$$P(X=4) = C(4,4) \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^4 = 1 \cdot \frac{1}{16} = \frac{1}{16}$$
$$P(X \geq 3) = \frac{4}{16} + \frac{1}{16} = \frac{5}{16} = 0.3125$$
Resultado: Hay un 31.25% de probabilidad de obtener más caras que cruces.
Verificación por simetría
Por simetría de la moneda:
- P(más caras) = 31.25%
- P(más cruces) = 31.25%
- P(empate: 2 caras y 2 cruces) = 37.5%
- Total: 100% ✓
Ejemplo 4: Infracciones de Tráfico
Datos del problema
Un estudio de tráfico reveló que:
- El 5% de conductores da positivo en alcoholemia
- El 10% no lleva puesto el cinturón de seguridad
- Ambas infracciones son independientes
Un guardia de tráfico para a 5 conductores al azar.
Paso 1: Calcular P(cometer alguna infracción)
Sean:
- A = dar positivo en alcoholemia, P(A) = 0.05
- B = no llevar cinturón, P(B) = 0.10
Como son sucesos independientes: $$P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B) = 0.05 \times 0.10 = 0.005$$
Probabilidad de cometer alguna infracción: $$P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)$$ $$P(A \cup B) = 0.05 + 0.10 - 0.005 = 0.145$$
Pregunta a: ¿Probabilidad de exactamente 3 infractores?
Parámetros: n = 5, p = 0.145
$$P(X = 3) = C(5,3) \cdot (0.145)^3 \cdot (0.855)^2$$ $$P(X = 3) = 10 \cdot 0.00305 \cdot 0.731 \approx 0.022$$
Resultado: Hay aproximadamente un 2.2% de probabilidad de que exactamente 3 de los 5 conductores hayan cometido alguna infracción.
Pregunta b: ¿Probabilidad de al menos 1 infractor?
Usamos el complementario para simplificar: $$P(X \geq 1) = 1 - P(X = 0)$$
$$P(X = 0) = C(5,0) \cdot (0.145)^0 \cdot (0.855)^5 = (0.855)^5 \approx 0.458$$
$$P(X \geq 1) = 1 - 0.458 = 0.542$$
Resultado: Hay un 54% de probabilidad de que al menos uno de los 5 conductores haya cometido alguna infracción.
Resumen de Técnicas Clave
Para probabilidades exactas: P(X = k)
Aplica directamente la fórmula binomial.
Para "al menos k": P(X ≥ k)
Dos opciones:
- Sumar: P(X=k) + P(X=k+1) + ... + P(X=n)
- Complementario: 1 - P(X < k) = 1 - [P(X=0) + ... + P(X=k-1)]
Para "como máximo k": P(X ≤ k)
Sumar: P(X=0) + P(X=1) + ... + P(X=k)
Para unión de sucesos independientes
$$P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A) \cdot P(B)$$
Conclusión
La distribución binomial es una herramienta fundamental para analizar experimentos con resultados binarios. Los pasos clave son:
- Verificar que se cumplen las condiciones de la binomial
- Identificar n (repeticiones) y p (probabilidad de éxito)
- Traducir el enunciado a términos de probabilidad
- Aplicar la fórmula y simplificar cuando sea posible
Dominar estos conceptos te permitirá resolver problemas de control de calidad, seguros, juegos de azar y muchas otras aplicaciones prácticas de la probabilidad.
Errores comunes
Confundir porcentaje con probabilidad decimal
Si p > 1 en tus cálculos, has usado el porcentaje directamente
Divide el porcentaje entre 100: 5% = 0.05, 0.1% = 0.001
No identificar correctamente qué es 'éxito' en el problema
Los resultados no tienen sentido o sumas más del 100%
Define claramente qué evento consideras éxito antes de calcular. El éxito es el evento cuya probabilidad p te dan
Confundir P(X ≥ k) con P(X > k)
Te falta o te sobra un término en la suma
P(X ≥ 3) incluye X=3, mientras P(X > 3) empieza en X=4
Olvidar usar el complementario para simplificar
Calculas muchos términos cuando te piden P(X ≥ 1) o similar
P(X ≥ 1) = 1 - P(X = 0) es mucho más rápido
Aplicar binomial cuando los sucesos no son independientes
El problema menciona que un resultado afecta al siguiente
Verifica que cada ensayo sea independiente y que p sea constante
Calcular mal P(A ∪ B) en problemas con dos tipos de éxito
Sumas directamente las probabilidades sin restar la intersección
P(A ∪ B) = P(A) + P(B) - P(A ∩ B). Si son independientes: P(A ∩ B) = P(A) · P(B)
Glosario
- Distribución binomial
- Distribución de probabilidad discreta que modela el número de éxitos en n ensayos independientes, cada uno con probabilidad de éxito p. Se denota B(n,p).
- Variable aleatoria discreta
- Variable que solo puede tomar valores aislados (generalmente enteros), como el número de piezas defectuosas o el número de caras al lanzar monedas.
- Número combinatorio C(n,k)
- El número de formas de elegir k elementos de un conjunto de n elementos sin importar el orden. Se calcula como n!/(k!(n-k)!).
- Sucesos independientes
- Dos sucesos son independientes cuando la ocurrencia de uno no afecta la probabilidad del otro. En ese caso, P(A ∩ B) = P(A) · P(B).
- Probabilidad de éxito (p)
- En la distribución binomial, es la probabilidad de que ocurra el evento que definimos como 'éxito' en cada ensayo individual.
- Probabilidad acumulada
- Probabilidad de que la variable tome valores hasta cierto punto. Por ejemplo, P(X ≤ 2) es la suma de P(X=0) + P(X=1) + P(X=2).
- Plan de inspección
- Procedimiento que define el tamaño de muestra (n) y el número máximo de defectos permitidos (c) para aceptar o rechazar un lote.
- Complementario de un suceso
- Si A es un suceso, su complementario Ā es 'que no ocurra A'. Se cumple que P(Ā) = 1 - P(A).
Preguntas frecuentes
¿Cuándo debo usar la distribución binomial y no otra distribución?
Usa binomial cuando tienes n repeticiones independientes con solo dos resultados posibles y probabilidad p constante.
La distribución binomial requiere: 1) Un número fijo n de ensayos, 2) Cada ensayo es independiente, 3) Solo hay dos resultados: éxito o fracaso, 4) La probabilidad p de éxito es igual en todos los ensayos. Si no se cumplen estas condiciones, necesitarás otra distribución.
¿Cómo sé qué es el 'éxito' en un problema de binomial?
El éxito es el evento cuya probabilidad p te proporcionan en el enunciado.
Por ejemplo, si te dicen 'el 5% de los conductores da positivo', el éxito sería 'dar positivo' con p=0.05. Si te preguntan por los que NO dan positivo, puedes redefinir el problema con p'=0.95 o calcular con la p original y usar el complementario.
¿Por qué usamos el complementario para calcular P(X ≥ 1)?
Porque es más fácil calcular P(X=0) que sumar P(X=1) + P(X=2) + ... + P(X=n).
P(X ≥ 1) = 1 - P(X = 0) requiere un solo cálculo. En cambio, calcular directamente P(X=1) + P(X=2) + ... hasta P(X=n) requiere n cálculos. Esta técnica es especialmente útil cuando n es grande.
¿Cómo calculo la probabilidad de cometer 'alguna de las dos infracciones'?
Usa la fórmula de unión: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) - P(A ∩ B).
Si los sucesos son independientes (como alcoholemia y cinturón), entonces P(A ∩ B) = P(A) · P(B). Por ejemplo: P(alguna infracción) = 0.05 + 0.10 - (0.05 × 0.10) = 0.145. Restamos la intersección para no contar dos veces a quienes cometen ambas.
¿Qué significa que dos sucesos sean independientes en este contexto?
Que la probabilidad de uno no cambia por saber que ocurrió el otro.
En el ejemplo de tráfico, que un conductor dé positivo en alcoholemia no afecta la probabilidad de que lleve o no cinturón. Matemáticamente, se verifica con P(A ∩ B) = P(A) · P(B). Si esto no se cumple, los sucesos son dependientes y los cálculos cambian.
¿Cómo interpreto el resultado 0.9988 en el ejemplo de control de calidad?
Significa que el 99.88% de los lotes buenos serán aceptados con este plan de inspección.
De cada 1000 lotes que realmente tienen solo 0.1% de defectos, rechazaremos aproximadamente 1 lote (el 0.12%). Es un plan muy bueno para no rechazar injustamente lotes de calidad. Sin embargo, también hay que verificar qué pasa con los lotes malos.
¿Por qué es tan diferente la probabilidad cuando p cambia de 0.001 a 0.05?
Porque la binomial es muy sensible al parámetro p, especialmente para valores pequeños y grandes de n.
Con p=0.001 (lote bueno), P(X≤2) ≈ 0.9988. Con p=0.05 (lote malo), P(X≤2) ≈ 0.0023. Esta gran diferencia hace que el plan de inspección sea efectivo: acepta casi todos los lotes buenos y rechaza casi todos los malos.
¿Qué pasa si en 'al menos 3 de 5' olvido incluir P(X=3)?
Obtendrás P(X>3) en lugar de P(X≥3), subestimando el resultado.
P(X≥3) = P(X=3) + P(X=4) + P(X=5), mientras que P(X>3) = P(X=4) + P(X=5). La diferencia puede ser significativa. En el ejemplo de seguros: P(X≥3) = 0.791 pero P(X>3) = 0.791 - P(X=3) sería menor.
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